《数理逻辑：证明及其限度》（第二版）勘误

P. 11，例 1.4.1 (3)，\(S_3(n)\) 的通项应为 “\(\frac{n^2(n+1)^2}{4}\)”。（感谢李令喜）（第二次印刷已修正）

P.17，1.5.5定义，要求S是由X的非空子集组成的集合。（否则无法排除划分中含有空集作为元素的情况，由此，第18页定理1.5.9(1)未必成立）。（第二次印刷已修正）

P.30，第12行，“\(f_\ast E\to E\)”改为“\(f_\ast E\times E\to E\)”。（感谢王琦）（第二次印刷已修正）

P.66，倒数第2、4、9行，将”\(P^1_i(x)\)“改为”\(P^1_i x\)“。（第二次印刷已修正）

P. 67，第2行。”\(\forall x (Sx\not\approx 0)\)“添加注释：”为了增加可读性，我们在这里添加了括号，用来表示那些正式的公式 ‘\(\forall v_i (\neg\approx Sv_i 0)\)’。后文中的‘\(\forall x~(x\notin z)\)’、‘\(\forall a(e+a\approx a)\)’等，也是类似情况”。（霍sh建议）（第二次印刷已修正）

P. 68，倒数第7行。”\(\forall a(\exists b(a+b\approx e))\)“改为”\(\forall a\exists b(a+b\approx e)\)“。根据简写规则前者会添加多余的括号。（霍sh建议）（第二次印刷已修正）

P.70，习题3.1.4。“没有形如\(4k+3\)的整数是平方和”拟改为“没有形如\(4k+3\)的整数是两个整数平方的和”。（张镇涛建议）

P.80，第5行。“\(y\)不在\(\varphi\)中出现”改为“\(y\)不在\(\Gamma\)和\(\varphi\)中出现”。（第二次印刷已修正）

P.116，第3行，“则\(\Gamma’=\)同样的原子公式，\(\psi(v_k),\Delta\)，”改为“则\(\Gamma’=\)同样的原子公式，\(\psi(v_k),\Delta,\exists x\psi(x)\)，”。（感谢曾千里）（第二次印刷已修正）

P.126，定理7.1.13，“\(0\leq\leq n\)”改为“\(0\leq i\leq n\)”。（感谢曾千里）（第二次印刷已修正）

P. 136，例 7.3.2, 7.3.3 中定义的\(R\), \(P_a\), \(R_a\)在格式上更显著的标出，并给出更多例子，方便读者阅读到后面的时候往回查找。（何jl建议）（涉及较多页码改动，第二次印刷未改动）

P.165，8.4节第一段两处“8.4节和8.4.6节”均应改为“8.4节和8.5节”。

P.169，倒数第8行，“根据以上对非标准模型的分析，我们不能用乌什-沃特判别法。”细节待补充（感谢曾千里）（涉及较多页码改动，第二次印刷未改动）

P.172，定理8.5.3，“存在自然数\(M\)和\(p\)”改为“存在自然数\(M\)和\(p>0\)”。（感谢曾千里）（第二次印刷已修正）

P. 174，习题8.5.5，添加提示：对\(n>1\)，令\(\sigma_n\)为命题\(\forall x(\bigvee_{0\leq y\leq n-1}x\equiv_n y)\)。对每个\(n>1\)，尝试找到满足\(\sigma_i\)（\(i\leq n\)）但并不满足所有\(\sigma_m\)的非标准模型。
例如，考虑非标准模型里面的元素都是形如\((q,i)\)的，其中\(q\)是一个\(\geq 0\)的有理数，\(i\)是一个整数；\(q=0\)时，\(i\)只能取自然数；直观上\(q>0\)时\((q,i)\)就是编码为\(q\)的\(Z\)链上的第\(i\)号；加法自然地取两个分量分别相加。要找到满足\(\sigma_i\)（\(i\leq n\)）却不满足整个普莱斯伯格算术的模型。考虑上述模型的一个子模型。其中只允许形如\((m/N^k,i)\)的元素，其中\(N=n!\)，\(m\)和\(k\)是自然数。（感谢曾千里）（涉及较多页码改动，第二次印刷未改动）

P. 234，习题10.4.4，“\(\vdash_T\Box_{T’}\varphi\leftrightarrow\Box_T(\varphi\rightarrow\varphi)\)”改为“\(\vdash_T\Box_{T’}\psi\leftrightarrow\Box_T(\varphi\rightarrow\psi)\)”。（感谢曾千里）（第二次印刷已修正）

P. 240，第4行，“（Chang and Keisler, 1900）”改为“（Chang and Keisler, 1990）”（感谢曾千里）（第二次印刷已修正）

P. 156, 180, 181, 182, 206, 207, 208, 220, 221, 222, 223, 224, 227, 231, 232, 233, 234，“\(\vdash_T\)”用法统一为“\(T\vdash\)”。（第二次印刷已修正）

P. 187，定理9.1.26，“一个\(\Delta_1\)的公式”的表述有问题。P. 179页把对\(\Delta_1\)的定义基于“逻辑等价”，需要修正。（感谢姚宁远）

see also http://logic.fudan.edu.cn/book/ml2